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बीजगणित में घन सर्वसमिकाएँ: हल सहित प्रश्न

🔸 01. का मान कितना है?+
∵
=
[ ∵ a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) ]
= x2 − xy + y2
🔸 02. (2x + 3y)3 + 3(2x + 3y)2(y − 2x) + 3(2x + 3y)(y − 2x)2 + (y − 2x)3 को सूत्र की सहायता से सरल कीजिए।+
∵ (2x + 3y)3 + 3(2x + 3y)2(y − 2x) + 3(2x + 3y)(y − 2x)2 + (y − 2x)3
मान लेते हैं, a = (2x + 3y) तथा b = (y − 2x)
अथवा, a + b = (2x + 3y) + (y − 2x)
अथवा, a + b = 2x + 3y + y − 2x
अथवा, a + b = 4y

∴ (2x + 3y)3 + 3(2x + 3y)2(y − 2x) + 3(2x + 3y)(y − 2x)2 + (y − 2x)3

= a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3

= (a + b)3

[ ∵ (x + y)3 = x3 + 3x2y+ 3xy2 + y3 ]

= (4y)3

= 64y3 उत्तर

🔸 03. हो, तो कितना है?+
∵
अथवा,
[ ∵ दोनों पक्षों का घन करने पर प्राप्त होता है। ]
अथवा,
[ ∵ (x + y)3 = x3 + y3 + 3xy(x + y) ]
अथवा,
अथवा,
अथवा,
🔸 04. हो, तो कितना है?+
∵

=

[ ∵ x3 + y3 = (x + y)3 − 3xy(x + y) ]

=

=

= 0

🔸 05. x + y = 1 हो, तो x3 + y3 + 3xy = कितना है?+
∵ x3 + y3 + 3xy

= x3 + y3 + 3xy(x + y)

[ ∵ (x + y) = 1 ]

= (x + y)3

[ ∵ (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) ]

= 13 [ ∵ (x + y) = 1 ]

= 1 उत्तर

🔸 06. हो, तो x3 + 27 का मान ज्ञात कीजिए।+
∵
अथवा,
अथवा, x2 + 9 = 3x
अथवा, (x + 3)(x2 − 3x + 32) = (x + 3) × 0
[ ∵ दोनों पक्षों को (x + 3) से गुणा करने पर प्राप्त होता है।]
अथवा, x3 + 33 = 0
[ ∵ a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) ]
अथवा, x3 + 27 = 0उत्तर
🔸 07. हो, तो का मान कितना है?+
∵
अथवा,
[ ∵ दोनों पक्षों को 3/2 से गुणा करने पर प्राप्त होता है।]
अथवा,
अथवा,
[ ∵ दोनों पक्षों का घन करने पर प्राप्त होता है। ]
अथवा,
[ ∵ (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) ]
अथवा,
[ ∵ ]
अथवा,
अथवा,
अथवा, उत्तर
🔸 08. a + b = 0 हो, तो a3 + b3 का मान कितना है?+
∵ a3 + b3
= (a + b)3 − 3ab(a + b)
[ ∵ x3 + y3 = (x + y)3 − 3xy(x + y) ]
= 03 − 3ab × 0
[ ∵ a + b = 0 ]
= 0
🔸 09. (a + b)((2a − b)2 + (2a − b)(a − 2b) + (a − 2b)2) को सूत्र की सहायता से विस्तारित कीजिए।+
∵ (a + b){(2a − b)2 + (2a − b)(a − 2b) + (a − 2b)2}
= {(2a − b) − (a − 2b)}{(2a − b)2+ (2a − b)(a − 2b) + (a − 2b)2}
= (2a − b)3 − (a − 2b)3
[ ∵ a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) ]
= 7a3 − 6a2b + 6ab2 − 7b3
🔸 10. हो, तो कितना है?+
∵
अथवा,
अथवा,
अथवा,
अथवा,
अथवा,
[ ∵ दोनों पक्षों का घन करने पर प्राप्त होता है। ]
अथवा,
अथवा,
अथवा, उत्तर
🔸 11. m + n = − 2 हो, तो m3 + n3 − 6mn = कितना है?+
∵ m + n = − 2
अथवा, (m + n)3 = (− 2)3
अथवा, m3 + n3 + 3nm(m + n) = (− 2)3
[ ∵ (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) ]
अथवा, m3 + n3 + 3nm(− 2) = − 8
[ ∵ m + n = − 2 ]
अथवा, m3 + n3 − 6nm = − 8
🔸 12. (x + y)3 + (x − y)3 का मान कितना है?+
∵ (x + y)3 + (x − y)3

= (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) + (x3 − 3x2y + 3xy2 − y3)

= 2x3 + 6xy2
= 2x(x2 + 3y2) उत्तर
🔸 13. x2 − 2x − 1 = 0 हो, तो का मान कितना है?+
∵ x2 − 2x − 1 = 0
अथवा, x2 − 1 = 2x
[ ∵ दोनों पक्षों को x से भाग देने पर प्राप्त होता है।]
अथवा,
अथवा,
अथवा,
अथवा,
[ ∵ दोनों पक्षों का घन करने पर प्राप्त होता है।]
अथवा,
[ ∵ (a − b)3 = a3 − b3 − 3ab(a − b) ]
अथवा,
[ ∵ रखने पर प्राप्त होता है।]
अथवा,
अथवा, उत्तर

🔹 14. का सरलतम मान कितना है?

🔹 15. x3 + 3x2 + 3x = 7 हो, तो x3 − 3x2 + 3x का मान कितना है?

🔹 16. यदि हो, तो कितना है?

🔹 17. a = b + c हो, तो सिद्ध कीजिए कि a3 − b3 − c3 = 3abc

🔹 18. यदि a − b = 1 तथा a3 − b3 = 61 हो, तो ab का मान कितना है?

🔹 19. यदि a + b = 5, ab = 4 तथा a > b हो, तो (a2 + b2)(a3 − b3) का मान कितना है?

🔹 20. यदि x = 0.25 हो, तो सूत्र की सहायता से 64x3 + 144x2 + 108x + 30 का मान कितना है?

🔹 21. यदि a − b = 8 हो, तो सूत्र की सहायता से a3 − b3 − 24ab का मान कितना है?

🔹 22. हो, तो का मान ज्ञात कीजिए।

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