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बीजगणित में द्विघात सर्वसमिकाएँ: हल सहित प्रश्न

🔸 01. को पूर्ण वर्ग के रूप में व्यक्त कीजिए।+
∵
=
=
[ ∵ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ]
🔸 02. 4x2 + 12xy + 9y2 को पूर्ण वर्ग के रूप में व्यक्त कीजिए।+
∵ 4x2 + 12xy + 9y2
= (2x)2 + 12xy + (3y)2
= (2x)2 + 2.2x.3y + (3y)2
= (2x + 3y)2
[ ∵ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ]
🔸 03. यदि एक पूर्ण वर्ग है, तो रिक्त पद भरिए।+
∵ 4x4 + ...... + 49y2
= (2x2)2 + ...... + (7y)2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 सर्वसमिका के अनुसार मध्य पद 2ab होगा।

अर्थात, 2.2x2.7y

= 28x2y
🔸 04. यदि हो, तो ज्ञात कीजिए।+
∵
or,
[ ∵ दोनों पक्षों का वर्ग करने पर। ]
or,
or,
or,
or,
🔸 05. यदि हो, तो ज्ञात कीजिए।+
∵
or,
[ ∵ दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर। ]
or,
or,
or,
[ ∵ दोनों पक्षों का वर्ग करने पर। ]
or,
or,
or,
or,
🔸 06. को पूर्ण वर्ग के रूप में व्यक्त कीजिए।+
∵
=
=
=
[ ∵ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ]
🔸 07. को सर्वसमिका की सहायता से सरल कीजिए।+
∵ (2q − 3z)2 − 2(2q − 3z)(q - 3z) + (q - 3z)2
मान लेते हैं, a = (2q − 3z) और b = (q − 3z)।
or, a − b = (2q − 3z) − (q − 3z)
or, a − b = 2q − 3z − q + 3z
or, a − b = q
∴ (2q − 3z)2 − 2(2q − 3z)(q − 3z) + (q − 3z)2

= a2 − 2ab + b2

= (a − b)2

[ ∵ (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 ]

= q2

🔸 08. यदि एक पूर्ण वर्ग है, तो t का मान ज्ञात कीजिए।+
∵ 4x2 + tx + 9

=

=

=

व्यंजक के पूर्ण वर्ग होने के लिए होगा।

or, t = ± 12

∴ t = 12 अथवा t = − 12

🔸 09. यदि हो, तो ज्ञात कीजिए।+
∵
or,
[ ∵ दोनों पक्षों का वर्ग करने पर। ]
or,
or,
or,
or,
🔸 10. यदि हो, तो ज्ञात कीजिए।+
∵
or,
[ ∵ दोनों पक्षों का वर्ग करने पर। ]
or,
or,
or,
or,
[ ∵ दोनों पक्षों का पुनः वर्ग करने पर। ]
or,
or,
or,
or,
or,
🔸 11. यदि हो, तो ज्ञात कीजिए।+
∵
or,
[ ∵ दोनों पक्षों का वर्ग करने पर। ]
or,
or,
or,
or,
🔸 12. को सरल कीजिए।+
∵
=
[ ∵ (a + b)2 = (a − b)2 + 4ab ]
= 4
🔸 13. यदि a + b = 5 और a − b = 3 हो, तो a2 + b2 ज्ञात कीजिए।+
∵ (a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2)
∴ 2(a2 + b2) = (a + b)2 + (a − b)2
∴ 2(a2 + b2) = 52 + 32
∴ 2(a2 + b2) = 25 + 9
∴ 2(a2 + b2) = 34
∴ a2 + b2 = 17
🔸 14. सर्वसमिका की सहायता से 1216 × 1184 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।+
∵ 1216 × 1184
= (1200 + 16) × (1200 − 16)
= (1200 + 16) × (1200 − 16)
= (1200)2 − (16)2
[ ∵ (a + b)(a − b) = a2 − b2 ]
= 1440000 − 256
= 14,39,744
🔸 15. यदि सर्वसमिका (x − 3)(x + p) = x2 − 9 सभी x के लिए सत्य हो, तो p का मान ज्ञात कीजिए।+
∵ (x − 3)(x + p) = x2 − 9
or, (x − 3)(x + p) = x2 − 32
[ ∵ (a + b)(a − b) = a2 − b2 सर्वसमिका का उपयोग करने पर। ]
∴ p = 3
🔸 16. (a + 2b − 3c)2 − (a − 2b + 3c)2 को सरल कीजिए।+
∵ (a + 2b − 3c)2 − (a − 2b + 3c)2
= {a + (2b − 3c)}2 − {a − (2b − 3c)}2
= {a − (2b − 3c)}2 + 4a(2b − 3c) − {a − (2b − 3c)}2
[ ∵ (a + b)2 = (a − b)2 + 4ab ]
= 4a(2b − 3c)

👇 स्वयं अभ्यास करें

🔹 17. यदि और हो, तो x2 - y2 का मान ज्ञात कीजिए।

🔹 18. यदि a − b = 7, ab = 8 और a, b > 0 हो, तो a + b का मान ज्ञात कीजिए।

🔹 19. यदि a + b = 5, ab = 4 और a > b हो, तो a − b का मान ज्ञात कीजिए।

🔹 20. यदि a + b = 7 और a − b = 3 हो, तो 8ab(a2 + b2) का मान ज्ञात कीजिए।

🔹 21. 265 को दो वर्गों के अंतर के रूप में व्यक्त कीजिए।

🔹 22. x2 + 5x + 6 को दो वर्गों के अंतर के रूप में व्यक्त कीजिए।

🔹 23. यदि a + b + c = 15 और a2 + b2 + c2 = 77 हो, तो ab + bc + ca का मान ज्ञात कीजिए।

🔹 24. यदि a + b + c = 7 और ab + bc + ca = 12 हो, तो (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 का मान ज्ञात कीजिए।

🔹 25. यदि x + y + z = 8 और xy + yz + xz = 18 हो, तो x2 + y2 + z2 का मान ज्ञात कीजिए।

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